Hằng số Thời gian của mạch RC
Hằng số Thời gian
Tau là hằng số thời gian của mạch RC có thể thay đổi từ điều kiện trạng thái ổn định này sang điều kiện trạng thái ổn định khác khi chịu điều kiện đầu vào thay đổi bước
Tau , ký hiệu τ , là chữ cái Hy Lạp được sử dụng trong tính toán điện và điện tử để biểu thị hằng số thời gian của một mạch dưới dạng một hàm của thời gian.
Các mạch điện và điện tử không phải lúc nào cũng ở trạng thái ổn định mà có thể bị thay đổi bước đột ngột dưới dạng thay đổi mức điện áp hoặc điều kiện đầu vào. Ví dụ như việc mở hoặc đóng của một công tắc đầu vào hoặc cảm biến.
Tuy nhiên, bất cứ khi nào xảy ra sự thay đổi điện áp hoặc trạng thái, mạch có thể không phản ứng tức thời với sự thay đổi mà có thể mất một khoảng thời gian bất kể nhỏ đến mức nào nếu các thành phần phản kháng như tụ điện và cuộn cảm có mặt trong mạch.
Sự thay đổi trạng thái từ điều kiện ổn định này sang điều kiện ổn định khác thường xảy ra với tốc độ được xác định bởi hằng số thời gian của mạch mà bản thân nó sẽ là một giá trị hàm mũ. Khi đó hằng số thời gian của mạch xác định đáp ứng quá độ của dòng điện và điện áp mạch thay đổi như thế nào trong một khoảng thời gian nhất định.
Chúng ta đã thấy khi chịu một điện áp DC ở trạng thái ổn định, một tụ điện sẽ hoạt động như một mạch hở, một cuộn cảm sẽ hoạt động như một mạch ngắn và một điện trở sẽ hoạt động như một thiết bị hạn chế dòng điện. Nếu điện áp trên tụ điện cũng như dòng điện qua cuộn cảm không thể thay đổi ngay lập tức, thì đáp ứng nhất thời của chúng sẽ như thế nào khi chịu điều kiện thay đổi theo bước.
Nhưng trước khi bắt đầu áp dụng một số dạng phân tích quá độ cho mạch điện dung, trước tiên chúng ta hãy tự nhắc mình về các đặc tính VI của mạch điện trở thông thường như hình dưới đây.
Mạch điện trở
Với công tắc ở vị trí S2 , điện trở 10Ω bị ngắn mạch và do đó không được kết nối với điện áp nguồn 10 vôn (V). Kết quả là, dòng điện bằng không chạy qua điện trở, do đó, IR = 0. Tuy nhiên, khi chuyển công tắc đến vị trí S 1 tại thời điểm t = 0, một điện áp bước 10 vôn được đặt trực tiếp qua điện trở 10Ω dẫn đến dòng điện 1 ampe (I = V / R) chạy quanh mạch kín.
Vì điện trở có giá trị không cảm ứng cố định, dòng điện thay đổi tức thì từ 0 đến 1 ampe trong một phần của giây ngay sau khi công tắc được chuyển đến vị trí S1 . Tương tự như vậy, nếu công tắc được đưa trở lại vị trí S2 , điện áp cung cấp (V) bị loại bỏ do đó dòng điện trong mạch sẽ ngay lập tức giảm xuống 0 một lần nữa như trong đồ thị trên.
Sau đó, đối với một mạch điện trở, sự thay đổi trạng thái điện từ trạng thái này sang trạng thái khác gần như ngay lập tức, vì không có gì để chống lại sự thay đổi này. Do đó, điện trở chỉ giới hạn dòng điện xung quanh mạch đến một giá trị được xác định bởi Định luật Ohms, đó là V / R và như vậy không có hằng số thời gian hoặc đáp ứng nhất thời liên quan đến chúng.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét đáp ứng nhất thời của một điện trở mắc nối tiếp với một tụ điện tạo thành một mạch RC đơn giản. Đặc điểm VI của sự kết hợp này sẽ như thế nào khi chịu sự thay đổi điện áp bước đầu vào như trước đây.
Hằng số thời gian RC
Chúng ta đã thấy ở trên rằng một phản ứng điện trở ngay lập tức với bất kỳ sự thay đổi nào của điện áp đặt vào nó. Nhưng điện trở là một thiết bị tuyến tính thụ động không tích trữ năng lượng mà thay vào đó, nó tiêu tán năng lượng dưới dạng nhiệt. Tuy nhiên, tụ điện (C) bao gồm hai bản dẫn điện (điện cực) được ngăn cách bằng vật liệu cách điện điện môi có khả năng tích trữ năng lượng điện dưới dạng điện tích (Q coulombs) trong chính nó.
Kết quả là không giống như điện trở, tụ điện không thể đáp ứng tức thời với sự thay đổi nhanh chóng hoặc từng bước của điện áp đặt vào, vì vậy sẽ luôn có một khoảng thời gian ngắn ngay sau khi đặt điện áp lần đầu để dòng điện mạch và điện áp trên tụ điện thay đổi trạng thái. . Nói cách khác, sẽ có một khoảng thời gian nhất định cần thiết để tụ điện thay đổi lượng năng lượng tích trữ trong điện trường của nó, tăng hoặc giảm giá trị.
Khoảng thời gian để mạch phản hồi được biểu thị bằng bội số của R x C , đó là tích của “Ohms x Farads” được cho bằng giây (s). Cường độ dòng điện qua tụ điện cho bởi: iC = C (đv / dt) . Trong đó: dv đại diện cho sự thay đổi điện áp và dt đại diện cho sự thay đổi theo thời gian.
Hãy xem xét mạch RC điện trở-tụ điện đơn giản dưới đây.
Mạch điện trở-tụ điện (RC)
Với công tắc ở vị trí S2, điện trở-tụ điện nối với nhau và do đó không kết nối với nguồn cung cấp điện áp VS . Kết quả là dòng điện chạy quanh mạch bằng không nên I = 0 và V C = 0 .
Khi chuyển công tắc đến vị trí S1 tại thời điểm t = 0 thì đặt vào đoạn mạch RC một điện áp bậc (V). Tại thời điểm này, tụ điện phóng điện hoàn toàn giống như ngắn mạch do điều kiện thay đổi dv / dt đột ngột vào thời điểm chính xác công tắc được đóng ở vị trí S1 .
Sự thay đổi này làm cho dòng điện trong mạch tăng đến một giá trị chỉ giới hạn bởi điện trở của mạch, giống như trước đây. Do đó, khi công tắc S1 ban đầu đóng ở t = 0, cường độ dòng điện chạy quanh mạch kín có giá trị xấp xỉ bằng V R / R ampe, V R = I * R và V C = 0.
Đồng thời ngay lập tức công tắc được chuyển đến vị trí S 1 , cũng như dòng điện chạy qua, tụ điện bắt đầu tích điện khi nó cố gắng lưu trữ điện tích trên các bản của nó. Kết quả là điện áp, V C trên các tụ điện bắt đầu tăng dần trong khi dòng điện mạch bắt đầu giảm với tốc độ được xác định bởi hằng số thời gian, tau , của kết hợp RC.
Do đó, chúng ta có thể xác định sự tăng trưởng điện áp trên các bản tụ điện, (V C ) bắt đầu từ t = 0 là:
Tích phân cả hai vế ta được:
Do đó, sự tăng trưởng tự nhiên theo cấp số nhân của điện áp trên tụ điện khi nó cố gắng lưu trữ điện tích trên các bản của nó được cho là:
Ở đâu:
- V C là hiệu điện thế trên tụ
- V là điện áp cung cấp
- e là tổn thất tự nhiên
- t là khoảng thời gian kể từ khi đóng công tắc
- RC là hằng số thời gian tau của mạch RC
Chúng ta có thể chỉ ra tốc độ phát triển theo cấp số nhân của điện áp trên tụ điện theo thời gian trong bảng sau với giả định các giá trị chuẩn hóa cho điện áp nguồn là 1 vôn và hằng số thời gian RC là một (1).
Tăng trưởng điện áp của tụ điện theo thời gian
| Thời gian | 0,5 | 0,7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Điện áp (V C ) | 0,393V | 0,503V | 0,632V | 0,864V | 0,950V | 0,981V | 0,993V | 0,997V |
Rõ ràng, chúng ta có thể thấy từ bảng trên rằng các giá trị của: V C = V (1 – e -t / τ ) tăng theo thời gian từ t = 0 đến t = 6 giây (6T) trong ví dụ điện áp trên tụ điện là một hàm tăng theo cấp số nhân vì khi thời gian (t) tăng lên, số e -t / τ càng nhỏ, do đó điện áp trên tụ điện, V C sẽ lớn hơn đối với điện áp cung cấp dẫn đến sự thay đổi.
Do đó tại thời điểm t = 0, giá trị của hàm bằng 0, nhưng khi thời gian (t) tiếp tục tăng về phía ∞ , tại thời điểm t = RC khi 1 – e -1 tạo ra giá trị 0,632 hoặc 63,2% (0,632 * 100%) giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó.
Do đó, đối với một hàm số tăng theo cấp số nhân, hằng số thời gian, Tau (τ) được định nghĩa là thời gian cần thiết để hàm đạt tới 63,2% giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó với tốc độ bắt đầu từ thời điểm, t = 0. Như vậy mọi khoảng thời gian của tau, ( τ ) điện áp trên tụ điện tăng thêm e -1 giá trị trước đó của nó và hằng số thời gian tau càng nhỏ thì tốc độ thay đổi càng nhanh.
Chúng ta có thể biểu diễn sự biến thiên của điện áp trên tụ điện theo thời gian bằng đồ thị như sau:
Tăng trưởng điện áp theo cấp số nhân theo thời gian
Sau đó, chúng ta có thể thấy rằng đáp ứng nhất thời của tụ điện đối với đầu vào bước không phải là tức thời hoặc tuyến tính, nhưng tăng theo cấp số nhân với tốc độ được xác định bởi hằng số thời gian của mạch RC và hằng số thời gian đó bằng hệ số 1 – e -1 = 0,6321 .
Riêng Tau không mô tả mất bao lâu để tụ điện được sạc đầy và về mặt lý thuyết, do đường cong quá độ tăng theo cấp số nhân của nó, tụ điện không bao giờ được sạc đầy 100%.
Tuy nhiên, sau một khoảng thời gian quá hoặc lớn hơn tương đương với 5 hằng số thời gian, nghĩa là ≥ 5τ hoặc 5RC, kể từ khi xảy ra thay đổi ban đầu về tình trạng, tăng trưởng theo cấp số nhân đã chậm lại dưới 1% giá trị tối đa của nó, vì vậy hầu hết các ứng dụng thực tế, chúng ta có thể nói rằng nó đã đạt đến trạng thái cuối cùng hoặc điều kiện trạng thái ổn định mà không có sự thay đổi nào diễn ra theo thời gian. Tức là, ở 5T tụ điện được “sạc đầy”.
Ví dụ về hằng số thời gian số 1
Một đoạn mạch RC nối tiếp có điện trở 50Ω và điện dung 160µF. Hằng số thời gian của nó, tau của mạch là bao nhiêu và mất bao lâu để tụ điện được sạc đầy.
1. Hằng số thời gian, τ = RC. Vì vậy:
τ = RC = 50 x 160 x 10 -6 = 8 mili giây
2. Khoảng thời gian để sạc đầy:
5T = 5τ = 5RC = 5 x 50 x 160 x 10 -6 = 40 mili giây hoặc 0,04 giây
Ví dụ số 2
Một đoạn mạch gồm điện trở 40Ω và điện dung 350uF mắc nối tiếp với nhau. Nếu tụ điện được phóng điện hoàn toàn, thì thời gian cần thiết để điện áp trên các bản tụ điện đạt 45% giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó sau khi quá trình sạc bắt đầu.
Dữ liệu đã cho: R = 40Ω, C = 350uF, t là thời gian tại đó điện áp của tụ điện trở thành 45% giá trị cuối cùng của nó, đó là 0,45V
Sau đó, mất 8,37 mili giây để điện áp trên tụ đạt 45% ở điều kiện trạng thái ổn định 5T của nó khi hằng số thời gian, tau là 14 ms và 5T là 70 ms.
Hy vọng rằng bây giờ chúng ta hiểu rằng hằng số thời gian của một mạch RC nối tiếp là khoảng thời gian bằng 0,632V (thường được lấy bằng 63,2%) của giá trị lớn nhất của nó (V) ở cuối một hằng số thời gian, (1T) do tích của R và C. Ngoài ra, ký hiệu cho hằng số thời gian là τ (tau chữ Hy Lạp), và τ = RC , trong đó R tính bằng ohm, C tính bằng farads và τ tính bằng giây.
Nhưng đối với một tụ điện đã được sạc đầy (V C > 5T) thì sao, các đặc tính VI của tụ điện sẽ như thế nào khi nó phóng điện trở về 0 vôn và sự suy yếu của điện áp của tụ điện sẽ tuân theo cùng một hình dạng đường cong hàm mũ.
Đường cong phóng điện nhất thời RC
Quá trình phóng điện của một tụ điện đã được sạc đầy tương tự như quá trình sạc. Nguồn điện DC được sử dụng để sạc tụ điện ban đầu bị ngắt kết nối và được thay thế bằng một đoạn ngắn mạch như hình bên.
Giả sử các điều kiện ban đầu trong công tắc (S) đó là “mở” và tụ điện đã được sạc đầy (V C > 5T). Khi đóng công tắc (S) tại thời điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện qua điện trở với khoảng thời gian cần thiết để phóng điện phụ thuộc vào giá trị của điện trở. Vì ban đầu V C = V R = V, sự suy yếu của điện áp được cho là:
Sự suy giảm theo cấp số nhân của phương trình điện áp
Ở đâu; V (t) là hiệu điện thế trên các bản tụ điện và V C là giá trị điện áp ban đầu của tụ điện trước khi bắt đầu suy yếu.
Trước đây, hàm mũ dành cho tăng trưởng điện áp. Đối với một hàm suy yếu theo cấp số nhân, thời gian cần thiết để điện áp đạt tới 0 vôn với tốc độ không đổi vẫn phụ thuộc vào hằng số thời gian RC. Do đó hằng số thời gian là thước đo “tốc độ suy yếu”.
Do đó đối với một hàm suy yếu theo cấp số nhân, hằng số thời gian, tau (τ) cũng được xác định là thời gian cần thiết để điện áp giảm đạt xấp xỉ 36,8% giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó khi bắt đầu suy giảm tại thời điểm t = 0. Do đó nếu τ là một hằng số thời gian, nghĩa là: τ = RC, và mạch RC ở trạng thái ổn định được sạc đầy tại t = 0, khi đó:
Do đó tại thời điểm t = 0, giá trị của hàm ở cực đại của nó, nhưng khi thời gian (t) di chuyển về phía ∞ , điểm mà t = RC khi e -1 tạo ra giá trị là 0,368 hoặc 36,8% (0,368 * 100 %) của giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó, là 0 vôn (phóng điện hoàn toàn).
Một lần nữa, chúng ta có thể hiển thị tốc độ suy giảm theo cấp số nhân của điện áp trên tụ điện theo thời gian trong bảng sau với các giá trị chuẩn hóa cho điện áp nguồn là 1 volt và hằng số thời gian RC là một (1).
Tụ điện giảm điện áp theo thời gian
| Thời gian | 0,5 | 0,7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Điện áp (V t ) | 0,607V C | 0,497V C | 0,368V C | 0,135V C | 0,049V C | 0,018V C | 0,007V C | 0,002V C |
Một điểm cần lưu ý ở đây. Hằng số thời gian, tau của một đoạn mạch RC nối tiếp từ giá trị ban đầu của nó tại t = 0 đến τ sẽ luôn là 63,2% cho dù tụ điện đang sạc hay đang phóng điện. Đối với tăng trưởng theo cấp số nhân, điều kiện ban đầu là 0V, (không vôn) kể từ khi tụ điện được phóng điện hoàn toàn.
Do đó, điện áp tăng theo cấp số nhân lên đến 63,2% VMAX tại một thời điểm không đổi, 1T. Nhưng chúng ta cũng có thể nghĩ rằng điện áp của tụ điện ở 1T là 36,8% so với giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó ở 5T. Đó là sạc đầy.
Ý tưởng tương tự cũng đúng đối với sự suy giảm theo cấp số nhân. Đối với một tụ điện được sạc đầy, điều kiện trạng thái ổn định ban đầu là V C (tối đa) , do đó, tụ điện sẽ phóng điện xuống 36,8% so với điều kiện trạng thái ổn định cuối cùng của nó là 0 vôn (0V) sau 5T. Nhưng một lần nữa, chúng ta cũng có thể nghĩ đến điện áp trên tụ điện tại thời điểm 1T, giảm 63,2% so với ban đầu khi tụ điện được sạc đầy ở t = 0.
Khi đó, giá trị của hằng số thời gian 1T, từ điều kiện ban đầu đến 1T sẽ luôn là 0,632V, hoặc 63,2% của điều kiện trạng thái ổn định cuối cùng của nó. Tương tự như vậy ở 1T, điện áp của tụ điện sẽ luôn là 0,368V, hoặc 36,8% so với điều kiện trạng thái ổn định cuối cùng của nó sau 5T khi được sạc đầy ở V C (Max) hoặc được xả hoàn toàn ở 0V.
Chúng ta có thể hiển thị sự suy yếu của điện áp theo thời gian bằng đồ thị như sau:
Sự suy giảm điện áp theo cấp số nhân theo thời gian
Một lần nữa tốc độ suy yếu điện áp theo thời gian phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của hằng số thời gian RC, tau.
Ví dụ Tau số 3
Một đoạn mạch RC nối tiếp có thời gian không đổi, tau là 5ms. Nếu tụ điện được sạc đầy đến 100V, hãy tính: 1) điện áp trên tụ tại các thời điểm: 2ms, 8ms và 20ms kể từ khi bắt đầu phóng điện, 2) thời gian trôi qua mà điện áp tụ giảm dần còn 56V, 32V và 10V.
Điện áp trên một tụ điện phóng điện được cho là:
V C (t) = V C × e -t / RC vôn
Hằng số thời gian RC được cho là 5ms, do đó 1 / RC = 200 . V C = 100V.
1a). Điện áp tụ sau 2ms
V C (0,002) = 100 và –200t = 100 và –0,4 = 100 × 0,67 = 67,0 vôn
1b). Điện áp tụ sau 8ms
V C (0,008) = 100 và –200t = 100 và –1,6 = 100 × 0,202 = 20,2 vôn
1c). Điện áp tụ sau 20ms
V C (0,02) = 100 và –200t = 100 và –4 = 100 × 0,018 = 1,8 vôn
Điện áp của tụ điện (V C ) tại khoảng thời gian từ t = 0
2a). Thời gian đã trôi qua (t 1 ) khi V C (t) = 56 vôn
56 = 100 e -200t , do đó: -200t 1 = ln (56/100) = –0,5798
Như vậy: t 1 = –0,5798 ÷ –200 = 2,9 ms
2b). Thời gian đã trôi qua (t 2 ) khi V C (t) = 32 vôn
32 = 100 e -200t , do đó: -200t 2 = ln (32/100) = –1.1394
Như vậy: t 2 = –1.1394 ÷ –200 = 5,7 ms
2c). Thời gian đã trôi qua (t 3 ) khi V C (t) = 10 vôn
10 = 100 e -200t , do đó: -200t 3 = ln (10/100) = –2.3026
Như vậy: t 3 = –2.3026 ÷ –200 = 11,5 ms
Tóm tắt về hằng số thời gian Tau
Chúng ta đã thấy ở đây trong hướng dẫn này về Hằng số thời gian , Tau , ký hiệu τ rằng đáp ứng nhất thời của mạch RC là thời gian cần thiết để thay đổi từ điều kiện trạng thái ổn định này sang điều kiện trạng thái ổn định khác khi chịu điều kiện đầu vào thay đổi bước.
Khi tụ điện được tích điện từ trạng thái điện áp ban đầu bằng không đến điện áp trạng thái ổn định cuối cùng (V), khoảng thời gian được xác định là: τ = RC . Đó là tích của R và C. Điều này tạo ra một hàm số tăng dần theo cấp số nhân đối với VC với hằng số thời gian RC này được đo bằng giây, và hằng số thời gian càng nhỏ thì tốc độ thay đổi điện áp càng nhanh.
Chúng tôi cũng đã thấy đối với một hàm tăng trưởng theo cấp số nhân rằng giá trị sau một thời gian không đổi, 1T bằng 63,2% giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó. Đó là đối với một hàm tăng theo cấp số nhân, đó là thời gian cần thiết để điện áp đạt đến giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó sau 5T.
Giá trị của V (t) đối với một hàm số phát triển theo cấp số nhân tại thời điểm t = τ được cho là:
V (t) = V (1 – e –1 ) = 0,632V
Tương tự như vậy, đối với một hàm suy giảm theo cấp số nhân, giá trị sau một thời gian không đổi, 1T bằng 36,8% giá trị trạng thái ổn định cuối cùng của nó. Đó là đối với một hàm suy giảm theo cấp số nhân, cần thời gian để điện áp đạt đến giá trị bằng không.
Giá trị của V (t) đối với một hàm suy giảm theo cấp số nhân tại thời điểm t = τ được cho là:
V (t) = V (e –1 ) = 0,368V
Dù bằng cách nào, từ t = 0 đến τ sẽ luôn là 63,2% khoảng thời gian và từ 1T đến 5T sẽ luôn là 36,8% khoảng thời gian, tăng hoặc giảm theo cấp số nhân.